Beequation
Lær › Emner › Gange og division
Emneguide
Gange og division
Gange (multiplikation) er en hurtig måde at lægge lige store grupper sammen på: 3 · 4 betyder 3 grupper med 4 i hver, altså 4 + 4 + 4 = 12. I skolen skrives gangetegnet som regel som en hævet prik, og man læser det »tre gange fire«. På lommeregneren, i vores apps og på nogle opgaveark til de mindste ser du tegnet ×, og det betyder det samme. Division er det modsatte: man deler en mængde op i lige store dele. 12 : 4 = 3 læses »tolv delt med fire er tre«. Børn lærer de to regningsarter side om side: først ved at dele ud og tælle to og to, så med tabellerne og til sidst med opstilling, når tallene bliver store.
Hvad børn lærer på de forskellige klassetrin
De bindende mål i Fælles Mål beskriver, hvad eleverne skal kunne efter 3. og 6. klasse. Den mere detaljerede fordeling er vejledende, så det er skolen og bogsystemet, der bestemmer, hvornår dit barn møder hvad. Tabellen viser det mest almindelige.
| Klassetrin | Hvad de lærer |
|---|---|
| 0. klasse | At dele ud, så alle får lige mange, og at lægge ting i bunker med lige mange i hver. Det sker i leg og i hverdagen: »Er der lige mange æbleskiver til alle?« |
| 1. klasse | På mange skoler: det dobbelte og halvdelen af små tal (det dobbelte af 4 er 8, halvdelen af 10 er 5). At tælle to og to, fem og fem og ti og ti er et godt skridt på vejen mod tabellerne. |
| 2. klasse | På mange skoler kommer gange nu: først som gentaget plus (3 · 4 = 4 + 4 + 4) og som rækker og søjler, og tit begynder man med 2-, 5- og 10-tabellen. Halvt og dobbelt øves videre. Færdighedstesten i starten af 2. klasse handler om plus og minus, ikke om gange. |
| 3. klasse | De vejledende mål i Fælles Mål nævner metoder til multiplikation og division med naturlige tal i slutningen af indskolingen. Typisk: flere af tabellerne, division som at dele ud, rest, når det ikke går op, sammenhængen mellem gange og division, og regnehistorier, som børnene også selv finder på. |
| 4. klasse | Færdighedstesten i starten af 4. klasse har hele tal fra 0 til 1.200 og blandt andet gangestykker, både som regnestykker og i hverdagssituationer, og division i hverdagssituationer. På mange skoler skal den lille tabel sidde sikkert i løbet af året, og klassen begynder at stille gangestykker op med en etcifret faktor (234 · 3). Division med rest. |
| 5. klasse | Ofte gange med en tocifret faktor (234 · 23) og division med opstilling. At gange og dividere med 10, 100 og 1.000, også med decimaltal. Regnearternes hierarki: gange og division kommer før plus og minus, så 2 + 3 · 4 = 14. |
| 6. klasse | Efter 6. klasse skal eleverne kunne vælge en hensigtsmæssig regningsart til et hverdagsproblem, opstille et enkelt regneudtryk og regne med alle fire regningsarter med overslag og lommeregner. Færdighedstesten i starten af 6. klasse har de fire regningsarter med naturlige tal og med decimaltal og brøker i hverdagssituationer. Typisk også potenser som 10² = 10 · 10 = 100. |
De vigtigste idéer
1. Gange er lige store grupper, og rækkefølgen er ligegyldig
Rækker og søjler er den mest nyttige tegning i hele emnet. Drej prikkerne ovenfor en kvart omgang, så bliver 3 rækker med 4 til 4 rækker med 3, og der er stadig 12 prikker. Derfor er 3 · 4 = 4 · 3. Man kan altid bytte om på de to tal, og hvert gangestykke, dit barn lærer, giver et til gratis. Tallene, man ganger, hedder faktorer, og resultatet hedder produktet.
2. Division er at dele ud eller at dele op i grupper
12 : 3 kan forstås på to måder. At dele ud: 12 stykker slik deles mellem 3 børn, og hver får 4. At dele op i grupper: 12 stykker slik lægges i poser med 3 i hver, og man fylder 4 poser. Begge dele giver 4. Division er den modsatte regningsart af gange, så den hurtigste vej til 56 : 8 er at spørge: »8 gange hvad giver 56?« Svaret er 7.
Tallet, der deles, hedder dividenden, det, man deler med, hedder divisoren, og svaret hedder kvotienten. Bliver der ikke noget tilovers, siger man, at divisionen går op: 8 går op i 56.
3. Den lille tabel, fra 1 til 10
Den lille tabel er alle tabellerne fra 1 til 10: de 100 gangestykker fra 1 · 1 til 10 · 10, som man tit ser sat op i et skema med 10 rækker og 10 søjler. 11- og 12-tabellen hører ikke med. Der er ingen fast plan for, hvornår hver tabel kommer, men på mange skoler begynder man med 2-, 5- og 10-tabellen i 2. klasse, og hele den lille tabel skal sidde i 3. eller 4. klasse. At sige tabelremser i rækkefølge (»1 gange 3 er 3, 2 gange 3 er 6 …«) er en god begyndelse, men dit barn skal også kunne svare, når stykkerne kommer hulter til bulter. I guiden om at øve den lille tabel er der flere idéer.
Der er færre stykker at lære, end det ser ud til. Fordi man kan bytte om på faktorerne, er der kun 55 forskellige stykker i den lille tabel, og tabellerne hænger sammen. 4-tabellen er det dobbelte af 2-tabellen, og 8-tabellen er det dobbelte af 4-tabellen. 5-tabellen er det halve af 10-tabellen: 7 · 5 er halvdelen af 70, altså 35. 9 · 7 er 10 · 7 minus en 7'er: 70 − 7 = 63. Og i 9-tabellen giver tværsummen altid 9: 18, 27, 36, 45 …
Fem minutter med tabellerne hver dag gør mere end en time om søndagen. Vælg to eller tre stykker, dit barn har svært ved, for eksempel 7 · 8 = 56 og 6 · 8 = 48, og vend tilbage til dem tit: i bilen, i badet eller på vej til skole. Sig også divisionsstykket, der hører til (56 : 8 = 7), så får I dobbelt udbytte af hvert stykke.
4. Fra egne strategier til opstillet gange
I dansk matematik kommer børnenes egne regnestrategier først og standardalgoritmen senere, som én metode blandt flere. En typisk strategi er at dele tallet op i tiere og enere og gange hver del for sig: 23 · 4 = 20 · 4 + 3 · 4 = 80 + 12 = 92. Mange klasser tegner det som et rektangel, der er delt i to.
Når tallene bliver større, lærer klassen at stille stykket op. Man skriver enere under enere og begynder fra højre, ligesom når man lægger sammen med 1 i mente. 234 · 3 lyder sådan: »3 gange 4 er 12. Jeg skriver 2 og har 1 i mente. 3 gange 3 er 9, plus 1 i mente er 10. Jeg skriver 0 og har 1 i mente. 3 gange 2 er 6, plus 1 er 7.« Resultatet er 702.
Med en tocifret faktor laver man to gangestykker og lægger dem sammen. Til 234 · 23 regner man først 234 · 3 = 702. Så regner man 234 · 20 = 4680: 2-tallet i 23 står jo for 2 tiere, og derfor står der et 0 på enernes plads. Nogle bøger udelader 0'et og rykker i stedet rækken en plads til venstre. Til sidst lægger man sammen: 702 + 4680 = 5382.
5. Division med opstilling, og prøven
Danske bøger skriver som regel divisionsstykket på en linje med kolon og regner nedenunder, men opstillingen varierer lidt fra bogsystem til bogsystem. Sådan kan 857 : 4 lyde: »8 delt med 4 er 2. 2 gange 4 er 8, 8 minus 8 er 0. Træk 5-tallet ned: 5 delt med 4 er 1. 1 gange 4 er 4, 5 minus 4 er 1. Træk 7-tallet ned: 17 delt med 4 er 4. 4 gange 4 er 16, 17 minus 16 er 1.«
Kvotienten er 214, og der er 1 i rest. Man tjekker resultatet med prøven: divisor gange kvotient plus rest skal give dividenden. Her er 4 · 214 + 1 = 856 + 1 = 857, så stykket passer. Er resten 0, går divisionen op, som når 12 : 4 = 3.
Mange klasser dividerer også ved at trække store, lette bidder fra, én ad gangen. Til 96 : 4 tænker man: 20 gange 4 er 80, og så er der 16 tilbage. 4 gange 4 er 16, og så er der 0 tilbage. 20 + 4 = 24, altså er 96 : 4 = 24. Spørg læreren, hvilken metode klassen bruger, før du viser dit barn »den anden måde« derhjemme. Vi skriver mere om det i guiden om, hvordan der undervises i matematik i dag.
6. Resten afhænger af spørgsmålet
I regnehistorier og tekstopgaver skal barnet tænke over, hvad resten betyder. Klassen skal på tur med 26 elever, og hver forældrebil har plads til 4 børn: 26 : 4 = 6 rest 2, så der skal bruges 7 biler, ikke 6. En kanelsnegl koster 15 kr., og du har 50 kr.: 50 : 15 = 3 rest 5, så du kan købe 3, og de 5 kr., der er tilbage, rækker ikke til en mere. Senere, når decimaltallene kommer, kan man dele videre: 26 : 4 = 6,5.
Et tal, der går op i et andet, kaldes en divisor i tallet. Divisorerne i 12 er 1, 2, 3, 4, 6 og 12, og de kommer i par: 1 · 12, 2 · 6 og 3 · 4. Lige tal er dem, 2 går op i, og de ender altid på 0, 2, 4, 6 eller 8. Tal med præcis to divisorer, 1 og tallet selv, hedder primtal (2, 3, 5, 7, 11 …), men i de nye fagplaner, der gælder fra skoleåret 2027/28, hører de først hjemme i 7.–9. klasse.
Typiske fejl, du kan holde øje med
- »Man sætter et 0 bag på tallet«, når man ganger med 10: det passer med 25 · 10 = 250, men ikke med 2,5 · 10, som er 25 og ikke 2,50. Det, der sker, er, at hvert ciffer rykker en plads til venstre. 0'et udfylder kun den tomme enerplads.
- At dividere den forkerte vej: 12 : 3 og 3 : 12 er ikke det samme. Spørg: »Hvad er det, der skal deles, og i hvor mange dele?«
- At glemme 0'et i opstillet gange: hvis 234 · 20 bliver skrevet som 468 og lagt direkte under 702, giver stykket 1170 i stedet for 5382.
- At glemme et 0 i kvotienten: i 824 : 4 kommer man til »2 delt med 4«, og det går 0 gange. Det 0 skal skrives, så svaret bliver 206 og ikke 26. Prøven afslører fejlen: 4 · 26 = 104, ikke 824.
- En rest, der er for stor: 30 : 8 = 2 rest 14. Resten skal altid være mindre end divisoren. Er den ikke det, går divisoren op én gang til: 30 : 8 = 3 rest 6.
Spil på fem minutter derhjemme
- Jagt på rækker og søjler. Find rækker og søjler rundt omkring i huset: en æggebakke har 2 rækker med 6, så 2 · 6 = 12. En byggeklods med 2 rækker med 4 knopper har 2 · 4 = 8 knopper. Hvilke gangestykker kan I ellers finde?
- Tabelbold. Kast en bold frem og tilbage, og tæl i 3-tabellen (eller den tabel, klassen arbejder med), hver gang én griber den. Bagefter tæller I baglæns.
- Del retfærdigt. Del vindruer, pebernødder eller 1-kroner ud til familien. Er der noget tilovers? Det er resten.
- Tabelvendespil. Skriv gangestykker på nogle kort (7 · 8) og svarene på andre (56). Læg dem med bagsiden opad, og find de par, der hører sammen.
- Hvilken tabel er jeg med i? Sig et tal, og lad dit barn finde alle de gangestykker i den lille tabel, der giver det. 24 giver 3 · 8 og 4 · 6 (og omvendt).
Indies udfordringIndie har bagt 87 honningkager og pakker dem i æsker med 6 i hver. Hvor mange æsker kan hun fylde helt op? Og hvor mange æsker skal hun bruge, så alle kagerne kommer med? Vis svaret
87 : 6 = 14 rest 3, for 6 · 14 = 84, og 87 − 84 = 3. Prøven: 6 · 14 + 3 = 87. Indie kan altså fylde 14 æsker helt op, og der er 3 honningkager tilovers. Skal alle kagerne med, skal hun bruge 15 æsker, og i den sidste ligger der kun 3.
Gratis opgaveark med gange og division
Print dem, og øv derhjemme eller i klassen. Hvert opgaveark har en facitliste på side to.
2-, 5- og 10-tabellen2. klasse, 3. klasse · Blandede gangestykker med ekstraopgaver til 12Hent PDF
3-, 4- og 8-tabellen3. klasse, 4. klasse · Blandede gangestykker med ekstraopgaver til 12Hent PDF
Division med tabellerne3. klasse, 4. klasse · Brug den lille tabel til at dividereHent PDF
Gange med opstilling4. klasse, 5. klasse · Trecifrede tal gange etcifrede talHent PDFHurtige svar
Nej. Der er ingen national test i tabellerne; det er matematiklæreren, der holder øje med, om de sidder. Den nationale færdighedstest i matematik i starten af 4. klasse har gangestykker med, men den handler bredt om tal, regnestrategier og algebra, og eleverne må kun bruge papir og blyant. Læs mere i guiden om de nationale færdighedstest.
Til 10 · 10, altså den lille tabel. 11- og 12-tabellen er ikke en fast del af undervisningen. På mange skoler begynder tabellerne i 2. klasse og skal sidde i 3. eller 4. klasse.
Den hævede prik er det almindelige gangetegn i dansk skolematematik, og kolon er det almindelige divisionstegn. Tegnet × betyder det samme som ·, og det står på lommeregnere og i vores apps. Tegnet ÷ bruger man derimod ikke til division i Danmark, fordi det traditionelt har betydet minus, og mange voksne kender det fra kassebonen som »÷ rabat«.
Det er måden at tjekke et divisionsstykke på: man ganger divisoren med kvotienten og lægger resten til. Giver det dividenden, er stykket rigtigt. For eksempel er 857 : 4 = 214 rest 1, og 4 · 214 + 1 = 857.
Øv med Indie
Beequation Kids gør regnestykker til bikageopgaver, og bien Indie giver et tip, når dit barn sidder fast. Ingen reklamer, og der indsamles ingen data.