Lær › Lærere › Ræsonnement og problemløsning

Til lærere

Ræsonnement og problemløsning

I Fælles Mål for matematik er det første kompetenceområde matematiske kompetencer. Her hører blandt andet problembehandling og ræsonnement og tankegang til. Det bindende kompetencemål for området efter 6. klasse er, at eleven kan »handle med overblik i sammensatte situationer med matematik«. Ræsonnement er at forklare, begrunde og få øje på mønstre: »Hvordan ved du det?« Problemløsning er at bruge det, man ved, i en situation, man ikke har mødt før.

I udkastet til de nye fagplaner, der afløser Fælles Mål fra skoleåret 2027/28, har problemløsning, modellering og ræsonnement deres eget indholdsområde: »Matematiske tænke- og handlemåder«. Ræsonnement kræver ikke en særlig time. Det opstår gennem de spørgsmål, du stiller, og de samtaler, du lægger op til, hver dag. Idéerne nedenfor passer til alle emner og alle klassetrin.

Spørgsmål, der får eleverne til at ræsonnere

Hav nogle af dem på et kort i lommen eller på væggen, og brug dem, til de sidder på rygraden hos både dig og eleverne:

• Hvad lægger du mærke til? Hvad undrer du dig over?
• Hvad er ens, og hvad er forskelligt?
• Hvordan ved du det? Kan du bevise det?
• Kan man gøre det på en anden måde? Hvilken måde er hurtigst?
• Hvad ville der ske, hvis …?
• Giv mig et eksempel. Og nu et, som ingen andre kommer på.
• Er det altid, nogle gange eller aldrig sandt?
• Find fejlen. Giver svaret mening?

Overbevis mig!

Giv eleverne noget, de allerede ved, og bed dem overbevise dig (eller en makker, der spiller skeptisk) om, at det passer. »Fordi jeg kan det udenad« tæller ikke. De skal give en grund.

• 1. klasse: Overbevis mig om, at 7 + 8 = 15. 7 + 7 er 14, og 8 er én mere end 7, så svaret er én mere end 14. Eller med tierovergang: 7 + 3 = 10, og 5 mere giver 15.
• 3. klasse: Overbevis mig om, at 6 · 7 = 42. 5 · 7 = 35, og 7 mere giver 42.
• 4. klasse: Overbevis mig om, at ⅗ er større end ½. Halvdelen af 5 femtedele er 2½ femtedele, og 3 femtedele er mere end det.

En tegning, nogle centicubes eller en tallinje tæller også som bevis, og nogle af de bedste forklaringer er tegninger.

Sandt eller falsk?

Skriv en påstand på tavlen. Eleverne beslutter, om den er sand eller falsk, og forklarer hvorfor. Bland sande og falske, så de ikke kan gætte mønstret.

Find fejlen

Vis et regnestykke med en fejl, og bed eleverne finde, forklare og rette den. Det er mindre grænseoverskridende end at rette i sit eget arbejde, og du kan tage hul på de misforståelser, du ved vil dukke op.

• 2. og 3. klasse: 52 − 27 = 35. I enerne har eleven taget 2 fra 7 i stedet for 7 fra 2. Veksler man en tier til ti enere, bliver det 12 − 7 = 5 enere og 4 − 2 = 2 tiere: 25. Prøven: 25 + 27 = 52.
• 3. klasse: 450 afrundet til nærmeste hundrede er 400. 450 ligger præcis midt mellem 400 og 500, og så runder man op: 500.
• 4. og 5. klasse: 824 : 4 = 26. Efter 8 : 4 = 2 er det næste ciffer 2, og 2 : 4 giver 0 med 2 i rest. Det 0 har eleven glemt at skrive i resultatet, før 4-tallet blev trukket ned og 24 : 4 = 6 regnet ud. Svaret er 206. Prøven afslører det: 4 · 26 = 104, men 4 · 206 = 824.
• 5. klasse: ¼ + ¼ = ²⁄₈. En fjerdedel plus en fjerdedel er to fjerdedele, ²⁄₄. Nævneren lægges ikke sammen, for den fortæller, hvor store delene er.

Åbne opgaver

Opgaver med mere end ét svar, eller med ét svar men mange veje derhen (åbne problemstillinger, som de også kaldes), kan alle elever komme i gang med, og de, der er hurtigt færdige, kan altid gå videre.

• Alle klassetrin: Svaret er 12. Hvad kan spørgsmålet være? I 0. klasse siger nogle 10 + 2. I 6. klasse kan det blive 3 · 4, 48 : 4 eller 25 % af 48.
• 1. klasse: På hvor mange måder kan man slå 6 med to terninger? 1 + 5, 2 + 4 og 3 + 3, eller 5 måder, hvis 5 + 1 og 4 + 2 tæller med. Diskussionen om, hvad der er rigtigt, er selve ræsonnementet.
• 3. klasse: I kiosken har jeg betalt præcis 21 kr. og kun brugt tokroner og femkroner. Hvilke mønter kan jeg have brugt? Én femkrone og otte tokroner, eller tre femkroner og tre tokroner. Der skal være et ulige antal femkroner, fordi 21 er et ulige tal, og tokroner altid giver et lige beløb.
• 5. og 6. klasse: Et rektangel har en omkreds på 20 cm, og siderne er et helt antal centimeter. Hvad kan arealet være? Længden og bredden giver tilsammen 10 cm, så arealet kan være 9, 16, 21, 24 eller 25 cm². Kvadratet på 5 cm gange 5 cm har det største areal, og det åbner for en ny god diskussion: Er et kvadrat et rektangel?

Regnehistorier og tekstopgaver

I indskolingen arbejder mange klasser med regnehistorier, som eleverne gerne skriver og tegner selv. Giv dem et regnestykke, og lad dem finde på historien. Til 24 : 4 = 6 kan én skrive »24 pebernødder deles mellem 4 børn« og en anden »24 pebernødder kommes i poser med 4 i hver. Hvor mange poser bliver det?« Begge passer, men de beskriver to forskellige slags division, og det er værd at tale om i klassen.

Senere skal eleverne selv finde regnestykket i en tekstopgave. Efter 6. klasse skal de ifølge opmærksomhedspunkterne i Fælles Mål kunne »uddrage relevante oplysninger i enkle matematikholdige tekster«, vælge den regningsart, der passer, og »opstille et simpelt regneudtryk«. Øv det trin for trin, gerne med en oplysning, der ikke skal bruges. Et eksempel fra 3. klasse:

Malthe og hans morfar går til bageren kl. 8.15. Malthe har 50 kr. Han køber 3 kanelsnegle til 15 kr. stykket. Hvor mange penge har han tilbage?

• Det ved vi: 50 kr., 3 kanelsnegle, 15 kr. stykket. Klokkeslættet skal vi ikke bruge.
• Det spørger de om: Hvor mange penge har han tilbage?
• Regnestykket: 3 · 15 = 45 kr. (det, han bruger), og 50 − 45 = 5 kr. (det, han har tilbage). På mellemtrinnet kan eleverne skrive det som ét regneudtryk: 50 − 3 · 15 = 5.
• Svaret: Malthe har 5 kr. tilbage.

Bed altid om et svar i en hel sætning: »Malthe har 5 kr. tilbage«, ikke kun »5«. Sætningen tvinger dem tilbage til spørgsmålet. Slut af med prøven: det, han bruger, plus det, han har tilbage, skal give det, han havde: 45 + 5 = 50.

Pas på med at jagte nøgleord. »Tilbage« lyder som minus, men »Emma har brugt 5 kr. og har 3 kr. tilbage. Hvor mange penge havde hun fra starten?« løses med plus: 5 + 3 = 8 kr. Lad hellere eleverne genfortælle opgaven med deres egne ord og tegne den.

Tegn opgaven med bjælker

En tekstopgave kan tegnes med rektangler, bjælker eller strimler, der viser mængderne. Metoden har ikke noget fast dansk navn (nogle siger bjælkemodel eller stregmodel), men idéen er den samme: eleverne ser, hvad de ved, og hvad de skal finde, før de vælger regningsart. De yngste begynder med en helhed og to dele: »Der går 23 elever i 2.b, og 14 af dem går i SFO efter skole. Hvor mange går hjem?« Helheden er 23, den ene del er 14, så den anden del er 23 − 14 = 9.

Bjælkerne virker også til brøker. I 5. eller 6. klasse: »Freja bruger ⅖ af sine lommepenge og har 18 kr. tilbage. Hvor mange lommepenge havde hun?« Tegn en bjælke delt i 5 lige store dele, og marker de 2 dele, hun har brugt. De 3 dele, der er tilbage, er 18 kr., så én del er 6 kr., og hele bjælken er 5 · 6 = 30 kr. Prøven: ⅖ af 30 kr. er 12 kr., og 30 − 12 = 18 kr.

Sætningsstartere til forklaringer

Mange elever kender svaret, men ved ikke, hvordan de skal sige hvorfor. Sætningsstartere giver dem ordene. Brug dem selv, hæng dem op, og forvent dem i elevernes svar:

• Jeg ved, at …, så …
• Først …, og så …, og derfor er svaret …
• Det kan ikke være …, fordi …
• Jeg er enig (eller uenig) med …, fordi …
• Det er altid / nogle gange / aldrig sandt, fordi …
• Mit svar giver mening, fordi det ligger tæt på mit overslag, som var …

Kombiner dem med makkerpar: eleverne siger sætningen til en makker, før nogen svarer i plenum. Så har alle prøvet at sige det højt, og flere hænder kommer op.

Hurtige svar

Lær mere