Lær › Emner › Geometri og figurer

Emneguide

Geometri og figurer

Geometri er den del af matematikken, der handler om form, størrelse og placering. I indskolingen og på mellemtrinnet arbejder børnene med plane figurer (flade figurer som trekanter og kvadrater), rumlige figurer (figurer, der fylder noget, som terninger og kugler), symmetri og spejling, vinkler og med at beskrive, hvor noget er, og hvordan det flytter sig, til sidst med koordinater. I Fælles Mål hører geometrien til kompetenceområdet »Geometri og måling«, så den hænger tæt sammen med måling.

Hvad børn lærer på de forskellige klassetrin

Fælles Mål for børnehaveklassen siger, at børnene skal kunne bruge »tal og geometrisk sprog i hverdagssituationer«. Efter 3. klasse er det bindende, at eleverne kan »anvende geometriske begreber og måle«, og efter 6. klasse, at de kan »anvende geometriske metoder og beregne enkle mål«. Resten af målene er vejledende og beskriver 1.–3. og 4.–6. klasse samlet, så det er skolen og bogsystemet, der fordeler stoffet på årene. Tabellen viser det mest almindelige, og dit barn kan sagtens møde noget af det et år før eller et år senere.

De vigtigste idéer

1. Plane figurer: sider og hjørner

En plan figur er flad. Har den lige sider, der hænger sammen hele vejen rundt, er den en polygon, på dansk også en mangekant. Stederne, hvor to sider mødes, er hjørner, i matematikbogen også kaldet vinkelspidser. Her har danske børn en fordel: navnene fortæller selv, hvor mange sider figuren har.

En polygon er regulær, når alle sider er lige lange og alle vinkler lige store. Et stopskilt er en regulær ottekant, og cellerne i en bikage er næsten perfekte regulære sekskanter.

I hverdagen bruger vi tit »firkant« om et kvadrat eller et rektangel, men i matematik er enhver figur med fire sider en firkant. Til firkanterne hører blandt andet kvadratet (fire lige lange sider og fire rette vinkler), rektanglet (fire rette vinkler), romben (fire lige lange sider), parallelogrammet (to par parallelle sider), trapezet (mindst ét par parallelle sider) og dragen (to par lige lange nabosider). Et kvadrat er altså både et særligt rektangel og en særlig rombe. Trekanter kan være ligesidede (alle tre sider lige lange), ligebenede (to sider lige lange) eller have tre forskellige sidelængder, og efter vinklerne kan de være retvinklede (én ret vinkel), spidsvinklede (alle vinkler spidse) eller stumpvinklede (én stump vinkel).

Cirklen er ikke en polygon, for den har ingen lige sider. Alle punkter på cirklen ligger lige langt fra midten, centrum. Afstanden fra centrum ud til cirklen er radius, og linjen tværs over gennem centrum er diameteren, som er dobbelt så lang. I 6. klasse møder mange tallet π (pi), som er cirka 3,14: omkredsen af en cirkel er lidt mere end tre gange diameteren. En tallerken med en diameter på 10 cm har en omkreds på cirka 3,14 · 10 = 31,4 cm.

2. Rumlige figurer: flader, kanter og hjørner

En rumlig figur fylder noget. De flade overflader hedder flader, linjerne, hvor to flader mødes, hedder kanter, og spidserne hedder hjørner.

Nogle rumlige figurer har krumme overflader. En cylinder (en dåse) har to runde flader og en krum overflade, en kegle (en isvaffel) har én rund flade, en krum overflade og en spids, og en kugle (en bold) har kun én krum overflade. På mellemtrinnet arbejder eleverne også med udfoldninger: den flade tegning, man klipper ud og folder til en kasse eller en pyramide.

3. Symmetri og spejling

En symmetriakse (eller spejlingsakse) deler en figur i to halvdele, der er spejlbilleder af hinanden. Klipper du figuren ud og folder den langs aksen, dækker halvdelene hinanden præcis. En regulær polygon har lige så mange symmetriakser, som den har sider, og en cirkel har uendelig mange: enhver linje gennem centrum er en symmetriakse.

Allerede i 1. klasse spejler mange børn en tegning på ternet papir: hvert punkt skal ende lige så mange tern fra spejlingsaksen på den anden side. Et lille spejl, der stilles på aksen, viser med det samme, om tegningen er rigtig.

4. Vinkler er drejninger

En vinkel viser, hvor meget man har drejet. Børn møder drejninger med kroppen først: en kvart omgang, en halv omgang og en hel omgang. En kvart omgang er en ret vinkel, det firkantede hjørne på en bog eller en dørkarm. To rette vinkler giver en halv omgang, en lige vinkel, og fire giver en hel omgang. I 3. klasse lærer mange at kalde en vinkel spids, hvis den er mindre end en ret vinkel, og stump, hvis den er større.

På mellemtrinnet, typisk i 5. klasse, måler eleverne vinkler i grader. En hel omgang er 360°, en lige vinkel er 180°, og en ret vinkel er 90°. Navnene følger størrelsen:

• Spids vinkel: mindre end 90°
• Ret vinkel: præcis 90°
• Stump vinkel: mere end 90°, men mindre end 180°
• Lige vinkel: præcis 180°

Sådan måler man med en vinkelmåler: læg midtpunktet præcis på vinkelspidsen, læg nul-linjen langs det ene vinkelben, og følg den skala, der starter ved 0 på det ben, rundt til det andet ben. En vinkelmåler har to skalaer, og den mest almindelige fejl er at læse på den forkerte: så bliver en vinkel på 50° til 130°. Spørg derfor først: »Er vinklen spids eller stump?« Så ved dit barn, cirka hvilket svar der skal komme.

Sidst på mellemtrinnet bruger mange klasser nogle faste regler til at finde vinkler uden at måle:

• Vinkler, der tilsammen danner en lige linje, giver 180°. Er den ene 35°, er den anden 180° − 35° = 145°.
• Vinkler hele vejen rundt om et punkt giver 360°.
• Vinklerne i en trekant giver tilsammen 180°. Er to af dem 50° og 70°, er den tredje 180° − 120° = 60°.
• Vinklerne i en firkant giver tilsammen 360°.

5. Placering, gitternet og koordinater

De mindste beskriver, hvor ting er, med ord som over, under, mellem, til venstre og til højre, og viser vej med beskeder som »gå tre skridt frem, og drej en kvart omgang til højre«. I 3. klasse arbejder mange klasser med positioner i et gitternet, og så kommer koordinatsættene: to tal i en parentes, der fortæller præcis, hvor et punkt ligger. Det første tal går hen ad x-aksen, og det andet går op ad y-aksen. For at finde (3, 5) går man 3 hen og 5 op. Huskeregel: først hen ad gulvet, så op ad trappen.

I 4. klasse arbejder eleverne typisk i koordinatsystemets første kvadrant, hvor begge tal er positive, som på tegningen. I 5. klasse fortsætter akserne til de negative tal, så hele koordinatsystemet kommer i brug. Spejler man punktet (2, 3) i y-aksen, lander det på (−2, 3).

6. Spejling, parallelforskydning og drejning

Der er tre måder at flytte en figur på, så den beholder både form og størrelse. Ved en spejling vendes figuren om en spejlingsakse, som i et spejl. Ved en parallelforskydning skubbes den et stykke uden at dreje, som trekanten på tegningen. Ved en drejning drejes den om et punkt, for eksempel en kvart omgang (90°) eller en halv omgang (180°).

I 6. klasse bruger eleverne de tre flytninger til at lave og undersøge mønstre: borter på et stykke stof, fliser på et badeværelsesgulv og rosetvinduer i kirker. Bikagen er et af de bedste eksempler: tag én sekskant, og parallelforskyd den igen og igen, så dækker den hele fladen uden huller.

For lærere: Fælles Mål nævner et dynamisk geometriprogram både i indskolingen og på mellemtrinnet, og mange skoler bruger GeoGebra. Her kan eleverne trække i en figur og se, hvad der ændrer sig, og hvad der bliver ved med at være det samme, for eksempel at et rektangel altid har fire rette vinkler, uanset hvor langt eller smalt det bliver.

Typiske fejl, du kan holde øje med

• »Nu er det en ruder«: et kvadrat, der står på sit ene hjørne, er stadig et kvadrat, for siderne er stadig lige lange, og vinklerne er stadig rette. En figur skifter ikke navn, fordi den bliver drejet.
• »Et kvadrat er ikke et rektangel«: jo, det er det. Et kvadrat er et rektangel, hvor alle fire sider er lige lange.
• Kun at kende den »rigtige« tegning: at genkende en trekant, når den står på sin grundlinje, men ikke når den står på hovedet. Vis figurer, der er drejede, aflange, store og små.
• Sider og flader blandes sammen: i hverdagen siger vi, at en terning har seks sider, men i matematik har den seks flader. »Sider« bruges om de plane figurer.
• Diagonalen som symmetriakse: folder man et rektangel langs diagonalen, passer halvdelene ikke sammen. Prøv det med et stykke papir.
• Længere ben, større vinkel: vinklens størrelse er, hvor meget der er drejet, ikke hvor lange linjerne er tegnet.
• Koordinaterne byttet om: at gå op før hen. Først hen ad x-aksen, så op ad y-aksen.

Figurspil på fem minutter derhjemme

• Figurjagt i køkkenet. Find en cylinder, en kasse og en kugle: en dåse tomater, en pakke havregryn og en appelsin. Hjælp så hinanden med at tælle flader, kanter og hjørner på havregrynspakken (6, 12 og 8).
• Sommerfugl med maling. Klat lidt maling på den ene halvdel af et stykke papir, fold det på midten, og fold det ud igen. Folden er en symmetriakse.
• Robotten. Dit barn styrer dig hen til sofaen: »Gå fire skridt frem, drej en kvart omgang til venstre, gå to skridt frem.«
• Hvad er i posen? Læg en klods, en bold eller en lille æske i en stofpose. Dit barn mærker efter uden at kigge og beskriver figuren: »Den har seks flader, og de er alle sammen kvadrater.« Så er det en terning.
• Sænke slagskibe med koordinater. Tegn hver et lille gitternet, gem nogle skibe på punkter, og skiftes til at sige koordinatsæt som (4, 2) for at finde hinandens skibe.

Gratis opgaveark med geometri

Print dem til øvning derhjemme eller i klassen. Hvert ark har en facitliste på side to.

Plane figurer1. klasse, 2. klasse · Navne, sider og hjørnerHent PDF

Hurtige svar

Lær mere