Beequation
Lær › Emner › Tal og positionssystemet
Emneguide
Tal og positionssystemet
At tælle er at sige talrækken i den rigtige rækkefølge og give hver ting, man tæller, ét tal. Positionssystemet er idéen om, at et ciffer er mere eller mindre værd afhængigt af, hvor i tallet det står. I 333 står det samme ciffer tre gange, men hvert 3-tal betyder noget forskelligt: 3 hundreder, 3 tiere og 3 enere. Næsten alt andet i matematik fra 0. til 6. klasse bygger på de to idéer, fra tierovergang og 1 i mente til decimaltal.
Hvad børn lærer på hvert klassetrin
Fælles Mål, de nationale mål for folkeskolens fag, beskriver, hvad eleverne skal kunne efter 3. og 6. klasse, og 0. klasse har sine egne mål. Hvad der kommer i hvilket år, afhænger af skolen og bogsystemet, så tabellen viser, hvad der typisk arbejdes med. De nationale færdighedstest i starten af 2., 4. og 6. klasse giver et godt pejlemærke for, hvad børnene forventes at kunne.
| Klassetrin | Hvad de lærer |
|---|---|
| 0. klasse | At tælle ting og sige talrækken til 20 og ofte længere. At kende cifrene 0–9, som Fælles Mål kalder talsymbolerne: børnene skal kunne »genkende og ordne talsymbolerne og anvende dem til antalsbestemmelse«, altså bruge dem til at sige, hvor mange der er. Flere, færre og lige mange. Meget af det foregår i leg, med sange, terninger og brætspil. |
| 1. klasse | Tallene fra 0 til 100. Enere og tiere: 34 er 3 tiere og 4 enere. At samle ting i bundter af ti og lægge tal på en positionsplade. At tælle frem og tilbage, også i spring på to, fem og ti, og finde tal på tallinjen og hundredtavlen. |
| 2. klasse | Flercifrede tal: mange klasser når op til 1.000 i løbet af året, med hundreder, tiere og enere. At sammenligne og ordne tal. Afrunding og overslag begynder: 38 er cirka 40. Færdighedstesten i starten af året ser tilbage på hele tal op til 120, talrækken og pladsværdi. |
| 3. klasse | Trecifrede tal skal sidde sikkert: efter 3. klasse skal eleverne kunne »anvende trecifrede tal til at beskrive antal og rækkefølge«. Hundreder, tiere og enere i positionstavlen, at opdele tal på flere måder og at finde 10 eller 100 mere eller mindre. Mange klasser fortsætter op til 10.000. |
| 4. klasse | Færdighedstesten i starten af året handler om hele tal fra 0 til 1.200 og positionssystemet. Derefter vokser talområdet, ofte til 100.000 eller en million. Afrunding til nærmeste tier, hundrede og tusind. Positionssystemet fortsætter efter kommaet med tiendedele og hundrededele, se decimaltal og procent. |
| 5. klasse | Store tal med millioner. Negative tal, fx temperaturer under frysepunktet, og hele koordinatsystemet, hvor akserne fortsætter under nul. Regning med decimaltal. |
| 6. klasse | Færdighedstesten i starten af året omfatter hele tal, decimaltal og positive ægte brøker samt plus og minus med negative tal. I løbet af året kommer potenser som 10² = 100 og 10³ = 1.000. Efter 6. klasse skal eleverne kunne »anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger«, altså regne med brøker, decimaltal og negative tal og ikke kun med hele tal. |
De vigtigste idéer
1. At tælle er mere end at sige talrækken
Mange børn kan remse »en, to, tre …«, længe før de kan tælle. At tælle rigtigt betyder at pege på hver ting én gang, at vide, at det sidste tal, man siger, er antallet, og at forstå, at antallet er det samme, uanset hvilken rækkefølge man tæller i. Tæl trappetrin, knapper og pebernødder sammen, og spørg til sidst: »Hvor mange er der så?« Begynder dit barn forfra med at tælle, har det endnu ikke helt fået fat i, at det sidste tal er svaret.
Det hjælper også at kunne se små antal uden at tælle, fx øjnene på en terning. Terningespil og kortspil øver det helt af sig selv. Senere lærer børnene at tælle i spring, to og to, fem og fem, ti og ti, og at tælle baglæns, ligesom når man tæller ned til nytår.
2. De danske talord: enerne kommer først
På dansk siger vi enerne før tierne. I »femogtyve« hører barnet »fem« først, men skal skrive 2-tallet først. Derfor skriver mange børn i indskolingen 52, når de mener 25, eller 67, når de mener 76. Det er en helt almindelig fejl, som for de fleste forsvinder med øvelse. Den viser, at barnet skriver cifrene i den rækkefølge, det hører dem, og endnu ikke tænker i tiere og enere.
Oven i det kommer tierne fra 50 til 90. I tredive og fyrre kan man nogenlunde høre tre og fire, men halvtreds, tres, halvfjerds, firs og halvfems stammer fra en gammel måde at tælle i tyvere på. De er forkortelser af lange ord, som fortalte, hvor mange tyvere der var. Halvtreds er kort for »halvtredsindstyve«, hvor »halvtredje« betyder to og en halv: man er halvvejs til den tredje tyver.
| Tal | Talord | Det gamle ord | Antal tyvere |
|---|---|---|---|
| 50 | halvtreds | halvtredsindstyve | 2½ · 20 = 50 |
| 60 | tres | tresindstyve | 3 · 20 = 60 |
| 70 | halvfjerds | halvfjerdsindstyve | 3½ · 20 = 70 |
| 80 | firs | firsindstyve | 4 · 20 = 80 |
| 90 | halvfems | halvfemsindstyve | 4½ · 20 = 90 |
For et barn siger »halvfjerds« ingenting om 7 tiere. Derfor er materialer med tiere og enere ekstra vigtige for danske børn: de viser det, ordene skjuler. På norsk siger man »femtitre« og på svensk »femtiotre«, og der kan man høre, at 53 er fem tiere og tre enere.
Øv at sige tal på to måder: »seksoghalvfjerds« og »syv tiere og seks enere«. Tierne skrives først, til venstre. Gør det til en leg: du siger et tal, dit barn siger det med tiere og enere og skriver det ned. Er I i tvivl, så læg tallet med mønter: seksoghalvfjerds kroner er syv tikroner og seks enkroner.
3. Hvor cifferet står, bestemmer, hvad det er værd
Vores talsystem har kun ti cifre, 0 til 9, og med dem kan man skrive alle tal, ligesom man kan skrive alle ord med bogstaverne. Hver plads er ti gange så meget værd som pladsen til højre for den: 10 enere er 1 tier, 10 tiere er 1 hundrede, og 10 hundreder er 1 tusind. Derfor kaldes det også titalssystemet.
At dele et tal op efter pladserne kaldes at opdele det: 3.482 = 3.000 + 400 + 80 + 2. Man kan også opdele på andre måder, fx 3.482 = 3.000 + 300 + 182, og det er en stor hjælp, når man senere skal trække fra.
Et spørgsmål, der tit driller: tiercifferet og antallet af tiere er ikke det samme. I 352 er tiercifferet 5 (det er 50 værd), men tallet rummer 35 tiere i alt, fordi 350 er 35 bundter af ti.
Nullet er også vigtigt. I 405 viser nullet, at der ingen tiere er, og holder 4-tallet på hundredernes plads. Uden nullet ville 405 blive til 45.
Gør positionssystemet til noget, dit barn kan holde i hånden. Saml ispinde eller sugerør i bundter af ti med en elastik, og ti bundter til et hundrede. At bytte ti løse pinde til ét bundt er præcis det, eleverne gør senere i et opstillet regnestykke, når de har 1 i mente eller veksler en tier til ti enere. Spørg matematiklæreren, hvilke materialer klassen bruger, fx positionsplade, centicubes, kugleramme eller hundredtavle, og brug gerne det samme derhjemme.
4. Store tal læses tre cifre ad gangen
På mellemtrinnet vokser tallene. Efter tusinderne kommer titusinder, hundredtusinder og millioner. Tricket er at dele cifrene i grupper af tre fra højre: 4.072.519 læses »fire millioner toogthalvfjerds tusind fem hundrede og nitten«. I danske bøger skiller man grupperne med et punktum (10.000 og 1.000.000) og nogle steder med et lille mellemrum. Kommaet bruger vi til decimaltal, så 2,5 og 2.500 er to helt forskellige tal. Årstal skrives uden punktum: 2026.
Pas også på ordene for de helt store tal: en milliard er tusind millioner (1.000.000.000), og en billion er en million millioner (1.000.000.000.000). På engelsk betyder billion en milliard, så tal i engelske videoer og spil kan forvirre.
5. Sammenligne og afrunde: start fra venstre
For at sammenligne to tal skriver man dem under hinanden og ser først på pladsen med den største værdi. 5.309 og 5.290 har begge 5 tusinder, men 5.309 har 3 hundreder og 5.290 kun 2, så 5.309 > 5.290. Tegnene < (mindre end) og > (større end) vender altid den åbne side mod det største tal og spidsen mod det mindste.
At afrunde er at finde det nærmeste »runde« tal. Man ser på cifferet lige til højre for den plads, man afrunder til: er det 5 eller mere, runder man op, og er det 4 eller mindre, runder man ned. 3.482 afrundet til nærmeste tier er 3.480, til nærmeste hundrede 3.500 og til nærmeste tusind 3.000. Afrunding bruges til overslag: 38 + 41 er cirka 40 + 40 = 80, så et svar på 790 må være forkert. I dansk matematik øver man overslag sammen med hovedregning og lommeregner, så eleverne kan se, om et resultat er rimeligt.
6. Tallene fortsætter under nul
Negative tal er tal, der er mindre end nul. Mange børn kender dem fra termometeret, længe før de møder dem i skolen, for en frostmorgen i januar kan sagtens vise −5 °C. I undervisningen kommer de som regel på mellemtrinnet, ofte i 5. klasse sammen med hele koordinatsystemet, og i starten af 6. klasse er plus og minus med negative tal med i færdighedstesten. På tallinjen bliver det tydeligt: jo længere til venstre et tal står, jo mindre er det.
Typiske fejl, du kan holde øje med
- Enere og tiere bytter plads: »femogtyve« skrevet som 52 og »seksoghalvfjerds« som 67, fordi barnet hører eneren først.
- Tal skrevet, som de lyder: »tre hundrede og fire« skrevet som 3004 i stedet for 304, eller »tusind og tyve« som 100020 i stedet for 1.020.
- Det glemte nul: 45, når barnet mener 405, eller 507, når det mener 5.007.
- Halvtreds, halvfjerds og halvfems blandes sammen: ordene ligner ikke 5, 7 og 9, og »halvfjerds« kan lyde, som om det har noget med fire at gøre.
- Forkert afrunding: 3.482 afrundet til nærmeste hundrede skrevet som 3.582, eller nullerne fjernes, så der står 35. Alle cifre til højre for den plads, man afrunder til, bliver til 0.
- Negative tal sammenlignet som positive: −8 opfattes som større end −3, fordi 8 er større end 3. På tallinjen ligger −8 længere til venstre, så det er det mindste tal.
Spil på fem minutter derhjemme
- Tæl trappetrinene. Tæl op ad trappen og ned igen. Større børn kan tælle to og to, fem og fem eller ti og ti, eller starte ved 37 og tælle baglæns.
- Største tal vinder. Hver spiller trækker fire kort med cifrene 0–9 og lægger det største tal, de kan. Med 7, 2, 9 og 4 er det største 9.742 og det mindste 2.479. Med en almindelig terning går det også, så er cifrene 1–6.
- Gæt mit tal. Tænk på et tal op til 100 (eller 1.000). Dit barn gætter, og du svarer kun »større« eller »mindre«, indtil tallet er fundet.
- Julekalenderen. Tæl sammen hver morgen i december: Hvor mange låger er der tilbage? Den 10. december, når låge 10 er åbnet, er der 14 tilbage.
- Vejrudsigten. Kig på vejrudsigten sammen om vinteren. Hvor mange grader varmere er 4 °C end −2 °C? (6 grader.)
- Romertal. Led efter dem på gamle ure, på kirker og i kongernes navne: Christian IV og Frederik X. X er 10, og IV er 4, fordi 1-tallet (I) står foran 5-tallet (V) og trækkes fra.
Indies udfordringI Indies bikube bor der 4.705 bier. Så flytter 300 bier mere ind. Hvor mange bier er der nu, og hvad er det afrundet til nærmeste tusind? Vis svaret
4.705 + 300 = 5.005. De 7 hundreder og de 3 hundreder giver 10 hundreder, og de veksles til 1 tusind mere, så der står 0 på hundredernes plads. Tallet læses »fem tusind og fem«. Afrundet til nærmeste tusind er det 5.000, fordi hundredcifferet er 0, og så runder man ned.
Gratis opgaveark om tal og positionssystemet
Print dem til brug derhjemme eller i klassen. Til hvert opgaveark hører en facitliste på side to.
Talfølger op til 1001. klasse, 2. klasse · Tæl i spring på 1, 2, 5 og 10Hent PDF
Tiere og enere1. klasse, 2. klasse · Del tocifrede tal op i tiere og enereHent PDF
Hundreder, tiere og enere2. klasse, 3. klasse · Positionssystemet op til 1000Hent PDF
Afrunding3. klasse, 4. klasse · Afrund til nærmeste tier, hundrede og tusindHent PDFHurtige svar
Det er måden, vi skriver tal på, hvor et ciffers værdi afhænger af dets plads i tallet. I 352 står 5-tallet på tiernes plads, så det er 50 værd og ikke 5. Det kaldes også titalssystemet, fordi hver plads er ti gange så meget værd som pladsen til højre.
Cifrene er de ti tegn fra 0 til 9. Tal bygges af cifre, ligesom ord bygges af bogstaver. 352 er ét tal med tre cifre, og 7 er både et ciffer og et tal.
Som regel ikke i indskolingen. Fejlen kommer af, at vi på dansk siger enerne før tierne, og hos de fleste børn forsvinder den med øvelse. Spørg »hvor mange tiere, og hvor mange enere?«, når dit barn skriver et tal, og læg gerne tallet med mønter eller bundter af ti. Hænger fejlen ved i slutningen af indskolingen, eller har dit barn også andre vanskeligheder med tal, så tal med matematiklæreren om det.
Et tal som 65 ligger præcis midt mellem 60 og 70. Den regel, som børnene lærer i skolen, er, at et tal, der ligger lige på midten, rundes op, så 65 afrundet til nærmeste tier er 70.
Det er en forkortelse af det gamle ord »halvtredsindstyve«, som betyder halvtredje gange tyve. Halvtredje er to og en halv, og 2½ · 20 = 50. På samme måde er tres 3 · 20, og firs er 4 · 20.
Som regel på mellemtrinnet, ofte i 5. klasse, hvor temperaturer og koordinatsystemet er gode eksempler. I starten af 6. klasse er plus og minus med negative tal med i den nationale færdighedstest.
Øv med Indie
Beequation Kids gør regnestykker til bikageopgaver, og bien Indie giver et tip, når dit barn sidder fast. Ingen reklamer, og der indsamles ingen data.