Beequation
Lær › Emner › Mønstre og ligninger
Emneguide
Mønstre og ligninger
Algebra er matematik med et ukendt tal i. I indskolingen begynder det som en tom kasse, der skal udfyldes, 4 + □ = 10, og på mellemtrinnet bliver kassen til et bogstav: x + 3 = 10. Algebra handler også om mønstre: at opdage reglen i en række af tal eller figurer og bruge den til at forudsige, hvad der kommer bagefter. Og det handler om lighedstegnet, som betyder, at der er lige meget på begge sider. Derfor hedder emnet her »mønstre og ligninger«.
I Fælles Mål hører algebra sammen med tal og regnestrategier under kompetenceområdet »Tal og algebra«, og det gælder allerede fra 1. klasse. Bogstaverne kommer senere, men tankegangen er der fra begyndelsen. Forhold, altså at sammenligne to mængder, kommer for alvor først i udskolingen. På mellemtrinnet møder børnene idéen i opskrifter, saftevand og målestoksforhold.
Hvad børn lærer på de forskellige klassetrin
De bindende mål i Fælles Mål gælder efter 3. og 6. klasse. Den mere detaljerede fordeling er vejledende, så det er skolen og bogsystemet, der bestemmer, hvornår dit barn møder hvad. Tabellen viser det mest almindelige.
| Klassetrin | Det arbejder de med |
|---|---|
| 0. klasse | Mønstre med farver, former og lyde: rød, blå, rød, blå … Børnene efterligner, fortsætter og finder selv på mønstre med perler, klodser og klapperytmer. At se, om der er »lige mange« i to bunker, er det første skridt mod lighedstegnet. |
| 1. klasse | At opdage og fortsætte figurmønstre og talmønstre. Plustegnet og lighedstegnet, og de første stykker med et tal, der mangler: 4 + □ = 10, ofte med tiervennerne som hjælp. At tælle i spring: to og to, fem og fem, ti og ti. |
| 2. klasse | Færdighedstesten i starten af 2. klasse har opgaver med »lighedstænkning« (lighedstegnet og ukendte tal) og »funktionel tænkning« (mønstre i tal- og figurfølger). I løbet af året: tal, der mangler i plus- og minusstykker, hvor sammenhængen mellem de to regningsarter hjælper. □ + 6 = 15 kan løses med 15 − 6 = 9. Talfølger, der går op eller ned med 2, 5 eller 10. |
| 3. klasse | Fælles Mål nævner at opdage regneregler og sammenhænge mellem de fire regningsarter. Typisk: tal, der mangler, i alle fire regningsarter, for eksempel □ · 4 = 32. At beskrive reglen i et mønster med ord og forudsige, hvad der kommer længere fremme. |
| 4. klasse | Færdighedstesten i starten af 4. klasse har lighedstegnet, ukendte tal og mønstre, og også regnearternes egenskaber og skrivemåder. I løbet af året kommer typisk de første enkle ligninger, som løses med uformelle metoder: gæt og prøv efter, »skjulte tal« eller ved at regne baglæns. 3 · □ + 2 = 20 giver □ = 6. |
| 5. klasse | Bogstaver i stedet for tomme kasser: x + 5 = 12. Formler, hvor bogstaverne står for tal, der kan skifte (variable), for eksempel arealet af et rektangel, A = l · b. Regnearternes hierarki og parenteser. Ofte også enkle formler i et regneark. |
| 6. klasse | Færdighedstesten i starten af 6. klasse har ligninger og funktionel tænkning. Typisk: variable, der beskriver sammenhænge (pris = 5 · antal), mønstre med en regel, der fører direkte til en hvilken som helst plads i rækken, procent og målestoksforhold på tegninger og kort. Efter 6. klasse skal eleverne kunne bruge variable i beskrivelser og beregninger. |
De vigtigste idéer
1. Lighedstegnet betyder »samme værdi«
Mange børn læser = som »og så kommer resultatet«. Det går fint med 3 + 5 = 8, men ikke med 8 = 3 + 5 eller 4 + 5 = 6 + □. Tænk på en gammeldags skålvægt: de to sider skal veje det samme. 4 + 5 er 9, så 6 + □ skal også give 9, og det skjulte tal er 3. Man kan læse tegnet »er lig med« eller »er det samme som«.
2. Regn baglæns med den modsatte regningsart
Plus og minus ophæver hinanden, og det gør gange og division også. Det er nøglen til de fleste stykker med et tal, der mangler. Til □ − 9 = 7 kan man spørge: »Hvilket tal giver 7, når jeg trækker 9 fra?« og så lægge de 9 til igen: 7 + 9 = 16. Til □ · 4 = 32 dividerer man i stedet: 32 : 4 = 8. Bagefter laver man prøven og sætter tallet ind: 16 − 9 = 7 og 8 · 4 = 32.
I slutningen af indskolingen opdager mange børn også regnereglerne. I plus og gange må man bytte om på tallene (7 + 5 = 5 + 7 og 3 · 4 = 4 · 3), men i minus og division må man ikke: 9 − 5 er 4, men 5 − 9 er noget helt andet.
3. Mønstre følger en regel
Et mønster kan være en figurfølge, hvor figurerne vokser efter en fast regel, eller en talfølge som den ovenfor. De yngste fortsætter mønstre og tæller to og to eller fem og fem. De ældre finder reglen, siger den med ord og forudsiger, hvad der kommer længere fremme. I 6. klasse leder nogle efter en regel, der fører direkte til en hvilken som helst plads i rækken. I 3, 7, 11, 15, 19 er hvert tal 4 gange pladsens nummer minus 1 (det første er 4 · 1 − 1 = 3, det andet 4 · 2 − 1 = 7), så tal nummer 10 er 4 · 10 − 1 = 39. Mønstre som dette hører til det, færdighedstesten kalder funktionel tænkning.
4. Et bogstav står for et tal
På mellemtrinnet bliver den tomme kasse til et bogstav, oftest x. x + 5 = 12 betyder »et tal plus 5 giver 12«, så x = 7. Et regnestykke med et lighedstegn og et ukendt tal hedder en ligning, og at løse den betyder at finde det tal, der gør de to sider lige store. 3x betyder 3 · x, så hvis 3x = 18, er x = 6. Nogle ligninger har mere end én løsning: i a + b = 10 kan a og b være 1 og 9, 2 og 8, 3 og 7 og så videre. Det er tiervennerne fra 1. klasse, nu skrevet med bogstaver.
En formel er en regel for at regne noget ud, skrevet med bogstaver. Bogstaverne kaldes variable, fordi de kan stå for forskellige tal. Arealet af et rektangel er A = l · b (længde gange bredde), og omkredsen er O = 2 · (l + b). Et rektangel, der er 7 cm langt og 4 cm bredt, har arealet 7 · 4 = 28 cm² og omkredsen 2 · (7 + 4) = 22 cm. Parentesen regnes først. Det er en del af regnearternes hierarki: først parenteser, så gange og division og til sidst plus og minus. Derfor er 2 + 3 · 4 = 14, mens (2 + 3) · 4 = 20.
Sig lighedstegnet højt som »er det samme som«, og skriv af og til regnestykkerne omvendt: 10 = 4 + □. Børn, der altid ser resultatet stå til højre, går i stå, første gang det flytter sig, og den vane tager lang tid at aflære.
5. Sammenhænge: når det ene tal styrer det andet
Et rundstykke koster 5 kr. Køber du flere, kan du stille priserne op i en tabel:
| Antal rundstykker | 1 | 2 | 3 | 4 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|
| Pris | 5 kr. | 10 kr. | 15 kr. | 20 kr. | 50 kr. |
Reglen er pris = 5 · antal. Det er en sammenhæng mellem to størrelser: når antallet ændrer sig, ændrer prisen sig efter en fast regel, og dobbelt så mange rundstykker koster dobbelt så meget. Ikke alle sammenhænge er sådan. Indies talmaskine tager et tal, ganger det med 2 og lægger 1 til: 1 bliver til 3, 2 til 5 og 3 til 7. Her giver det dobbelte tal ikke det dobbelte resultat, for 2 giver 5 og ikke 6. At stille en sammenhæng op i en tabel og finde reglen er typisk stof på mellemtrinnet, gerne også i et regneark.
6. Opskrifter, saftevand og målestoksforhold
Skal en opskrift eller en tegning gøres større eller mindre, så den stadig passer, skal alt ganges (eller divideres) med det samme tal. Her er pandekager til 4 personer lavet om til 6 personer. Går man vejen om 2 personer (først det halve, så 3 gange så meget), bliver tallene pæne:
| Ingrediens | Til 4 personer | Til 2 personer (: 2) | Til 6 personer (· 3) |
|---|---|---|---|
| Hvedemel | 250 g | 125 g | 375 g |
| Æg | 4 | 2 | 6 |
| Mælk | 6 dl | 3 dl | 9 dl |
Saftevand er et andet eksempel. Står der »1 del saft til 4 dele vand«, er der 5 dele i alt. I en kande med 1 liter (10 dl) er hver del 10 : 5 = 2 dl, så der skal 2 dl saft og 8 dl vand i. Senere skrives sådan et forhold som 1 : 4, men selve forholdsregningen venter til udskolingen.
Et målestoksforhold fortæller, hvor meget en tegning eller et kort er gjort mindre. 1 : 100 betyder, at 1 cm på tegningen er 100 cm, altså 1 m, i virkeligheden. Er en stue 5 cm lang på tegningen, er den 5 m lang i virkeligheden. På et orienteringskort i målestoksforhold 1 : 10.000 er 1 cm det samme som 10.000 cm, altså 100 m, så 7 cm på kortet er 700 m i skoven.
Typiske fejl, du kan holde øje med
- At læse = som »resultatet er«: i 4 + 5 = □ + 2 skriver barnet 9 i kassen i stedet for 7.
- Den forkerte vej tilbage: i □ − 9 = 7 regner barnet 9 − 7 = 2 i stedet for 7 + 9 = 16.
- At læse 3x som »3 plus x« eller som et tocifret tal: hvis x = 2, er 3x hverken 5 eller 32, men 3 · 2 = 6. En anden klassiker er at tro, at et bogstav står for en ting (»a betyder æbler«) og ikke for et tal.
- At regne fra venstre mod højre hver gang: 2 + 3 · 4 bliver til 20 i stedet for 14.
- At gætte reglen ud fra de to første tal: 2, 4 … kan fortsætte med 6, 8 (læg 2 til) eller med 8, 16 (gang med 2). Tjek altid, at reglen passer hele vejen.
- At lægge til i stedet for at gange: at lave en opskrift til 4 personer om til 6 personer ved at tage 2 ekstra af det hele.
- At blande forhold og brøk sammen: med 1 del saft til 4 dele vand er saften ⅕ af saftevandet, ikke ¼.
Spil på fem minutter derhjemme
- Under koppen. Læg 10 pebernødder (eller rosiner) på bordet, gem nogle af dem under en kop, og spørg, hvor mange der er gemt. »Jeg kan se 6, så der er 4 under koppen.« Det er tiervennerne som ligning: 6 + □ = 10.
- Jeg tænker på et tal. »Jeg tænker på et tal. Jeg lægger 5 til og får 12. Hvilket tal tænkte jeg på?« Byt roller, og lad dit barn finde på gåderne.
- Gæt min regel. Dit barn siger et tal, og du ganger det i hemmelighed med 2, lægger 1 til og siger resultatet: 3 giver 7, 5 giver 11. Hvem gætter reglen først?
- Perlemønstre. Lav mønstre med perler, makaroni eller klodser: først et mønster, der gentager sig, så et, der vokser (1 rød, 2 blå, 3 røde …). Hvad kommer så? Hvor mange perler skal den næste gruppe have?
- Saftevand og bagning. Bland saftevand efter »1 del saft til 4 dele vand«, og regn sammen ud, hvor meget saft der skal i kanden. Når I bager, så lav den halve eller den dobbelte portion.
Indies udfordringIndie bygger en række bikageceller af ispinde. To celler ved siden af hinanden deler én side. 1 celle kræver 6 ispinde, 2 celler kræver 11, og 3 celler kræver 16. Hvor mange ispinde skal der bruges til en række med 10 celler? Vis svaret
Den første celle skal bruge 6 pinde. Hver ny celle deler en side med cellen før, så den skal kun bruge 5 mere. Til 10 celler: 6 + 9 · 5 = 6 + 45 = 51 ispinde. Som formel: pinde = 5 · celler + 1, og 5 · 10 + 1 = 51. Læg mærke til, at 2 celler ikke kræver dobbelt så mange pinde som 1 celle (det ville være 12), men 11.
Gratis opgaveark med mønstre og ligninger
Print dem til øvning derhjemme eller i klassen. Hvert opgaveark har en facitliste på side to.
Find det skjulte tal4. klasse, 5. klasse, 6. klasse · Hvilket tal står i boksen?Hent PDFHurtige svar
Tankegangen er der fra begyndelsen: mønstre i 0. klasse og stykker som 4 + □ = 10 i 1. klasse. I Fælles Mål er algebra med fra 1. klasse. Bogstaverne kommer typisk på mellemtrinnet, med formler omkring 5. klasse og ligninger, som også er med i færdighedstesten i starten af 6. klasse.
Et regnestykke med et lighedstegn, hvor et tal er ukendt, for eksempel x + 5 = 12. At løse ligningen betyder at finde det tal, der gør begge sider lige store. Her er x = 7, fordi 7 + 5 = 12.
Det er et af de ord, færdighedstesten bruger. Det handler om mønstre og sammenhænge: at se, hvordan en talfølge eller en figurfølge vokser, og hvordan ét tal ændrer sig, når et andet gør. For eksempel at prisen stiger med 5 kr., hver gang man køber et rundstykke mere.
At 1 cm på tegningen svarer til 100 cm, altså 1 m, i virkeligheden. Alle længder er gjort 100 gange mindre. På mange skoler kommer målestoksforhold i 6. klasse.
Ikke som et emne for sig. Forhold og forholdsregning kommer for alvor i udskolingen. Før det møder børnene idéen i opskrifter, der skal gøres større eller mindre, i saftevand og i målestoksforhold.
Øv med Indie
Beequation Kids gør regnestykker til bikageopgaver, og bien Indie giver et tip, når dit barn sidder fast. Ingen reklamer, og der indsamles ingen data.